Definition: 函数 f(x)f(x)
对集合 DD 中的每个元素 xx 都对应有一个yy，则称这对应关系是由 DD 定义的函数，xx 对应的值记为 f(x)f(x)，DD 是函数的定义域，全体值的集合 {f(x)∣x∈D}\{ f(x)| x \in D\} 称为函数 ff 的值域。

类似数列的极限的定义，我们同样使用 ε\varepsilon-nn 语言描述，但是函数的收敛我们讨论的更复杂一些，数列仅讨论 n→∞n\to \infty 时 ana_{n} 的敛散，而函数不仅要讨论 x→+∞x\to +\infty 时的极限，还有 x→−∞x\to -\infty、x→∞x\to \infty、x→x0x\to x_{0}

Definition: 函数 x→+∞x\to +\infty 时的极限
∀ε>0,∃v(ε)\forall \varepsilon>0,\exists v(\varepsilon)，使得x>v(ε)x>v(\varepsilon) 时，有 ∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon，记作 lim⁡x→+∞f(x)=a\lim_{ x \to +\infty }f(x)=a

Definition: 函数 x→−∞x\to -\infty 时的极限
∀ε>0,∃v(ε)\forall \varepsilon>0,\exists v(\varepsilon)，使得x<v(ε)x<v(\varepsilon) 时，有 ∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon，记作 lim⁡x→−∞f(x)=a\lim_{ x \to -\infty }f(x)=a

与数列的极限是类似的。

Definition: 函数 x→∞x\to \infty 时的极限
∀ε>0,∃v(ε)\forall \varepsilon>0,\exists v(\varepsilon)，使得 ∣x∣>v(ε)|x|>v(\varepsilon) 时，有 ∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon，记作 lim⁡x→∞f(x)=a\lim_{ x \to \infty }f(x)=a

即 x→+∞x\to +\infty 以及 x→−∞x\to-\infty 都收敛且极限一致

Definition: 函数 f(x)f(x) 在 x→x0x\to x_{0} 时的极限
设 f(x)f(x) 是 Uδ′∘(x0)U^\circ_{\delta^\prime}(x_{0}) （x0x_{0} 的去心邻域）内有定义的函数，a∈Ra \in \mathbb{R} ，∀ε>0\forall \varepsilon>0，∃δ(ε)>0\exists \delta(\varepsilon)>0 且 δ(ε)<δ′\delta(\varepsilon)<\delta^\prime 只要 0<∣x−x0∣<δ(ε)0<|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon)，就有

|f(x)-a|<\varepsilon$$ 成立，则 $x\to x_{0}$ 时 $f(x)$ 收敛于 $a$。记为 $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=a$

Definition: 函数的单侧极限
设 f(x)f(x) 是在 U+δ′∘(x0)U_{+\delta^\prime}^\circ(x_{0}) 上有定义，给定任意正实数 ε\varepsilon ，存在对应正实数 δ(ε)<δ′\delta(\varepsilon)<\delta^\prime，使得当 x0<x<x0+δx_{0}<x<x_{0}+\delta 时，有

∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon

则称 aa 为 f(x)f(x) 当 x→x0+x\to x_{0}^+ 处的右极限，记作 lim⁡x→x0+f(x)=a\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=a。左极限同理

函数极限不存在的几种情况见连续函数中的间断点类型。

函数极限的性质

Theorem 3.1.1 唯一性
若极限 lim⁡x→x0f(x)\lim_{ x \to x_{0} }f(x) 存在，则此极限是唯一的。

取 δ1,δ2>0\delta_{1},\delta_{2}>0 ，当 0<∣x−x0∣<δ10<|x-x_{0}|<\delta_{1} 与 0<∣x−x0∣<δ20 < |x-x_{0}| <\delta_{2}时分别有：

∣f(x)−A∣<ε,∣f(x)−B∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon,|f(x)-B|<\varepsilon

当 0<∣x−x0∣<min⁡(δ1,δ2)0<|x-x_{0}|<\min(\delta_{1},\delta_{2}) 时，上式仍然成立，故有

∣A−B∣=∣(f(x)−A)−(f(x)+B)∣≤∣f(x)−A∣+∣f(x)−B∣<2ε|A-B|=|(f(x)-A)-(f(x)+B)|\leq |f(x)-A|+|f(x)-B|<2 \varepsilon

由于 ε\varepsilon 是任意正实数所以 ∣A−B∣=sup⁡(R+)=0|A-B|=\sup(\mathbb{R}^+)=0

Theorem 3.1.2 归结原则(Heine 定理)
x→x0x\to x_{0} 时 f(x)f(x) 收敛的充分必要条件是对于所有收敛于 x0x_{0} 的数列 {xn}\{x_{n}\} 数列 {f(xn)}\{ f(x_{n}) \} 的极限存在且相等

  ⟹  \implies
给定任意 ε>0\varepsilon>0，存在于之对应的 δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0 对于数列 {xn}\{ x_{n} \}只要 n>n0(δ(ε))n>n_{0}(\delta(\varepsilon)) 就有 ∣xm−x0∣<δ(ε)|x_{m}-x_{0}|<\delta(\varepsilon)，又根据函数收敛定义，此时 ∣f(xn)−a∣<ε|f(x_{n})-a|<\varepsilon ,即对于ε>0\varepsilon>0只要 n>n0(δ(ε))n>n_{0}(\delta(\varepsilon)) 就有 ∣f(xn)−a∣<ε|f(x_{n})-a|<\varepsilon 所以，{f(xn)}\{ f(x_{n}) \}收敛于 aa。

  ⟸  \impliedby
利用反证法，假设 f(x)f(x) 不收敛，即 ∀ε>0,∃δ(ε)>0\forall \varepsilon>0,\exists\delta(\varepsilon)>0 只要 ∣x−x0∣<δ(ε)|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon) ，就∣f(x)−a∣<ε|f(x)-a|<\varepsilon 不一定成立，即存在 ε\varepsilon 使得某一个满足 ∣x−x0∣<δ(ε)|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon) 的 xx 却 ∣f(x)−a∣≥ε|f(x)-a|\geq\varepsilon 。

我们取这样的一个 ε\varepsilon 为 ε0\varepsilon_{0}。

  1. 对于 δ(ε0)\delta(\varepsilon_{0})，任意取满足 0<∣x−x0∣<δ(ε0)0<|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon_{0}) 的 xx 为 x1x_{1}
  2. 再对于 δ(ε0)2\frac{\delta(\varepsilon_{0})}{2} 任意取满足 0<∣x−x0∣<δ(ε0)20<|x-x_{0}|< \frac{\delta(\varepsilon_{0})}{2} 的 xx 为 x2x_{2}
    以此类推，对于 δ(ε0),δ(ε0)2,δ(ε0)3,…,δ(ε0)n,…\delta(\varepsilon_{0}), \frac{\delta(\varepsilon_{0})}{2}, \frac{\delta(\varepsilon_{0})}{3},\dots, \frac{\delta(\varepsilon_{0})}{n},\dots 可以取到一组数列 {xn}\{ x_{n} \} 且无论怎么选取 xx 都显然收敛于 x0x_{0}。
    根据条件，对于这个 {xn}\{ x_{n} \}，存在数组 {f(xn)}\{ f(x_{n}) \} 收敛于 aa，即∀ε>0,∃n0(ε)∈N+\forall \varepsilon>0,\exists n_{0}(\varepsilon)\in\mathbb{N}^+ 只要 n>n0(ε)n>n_{0}(\varepsilon) 就有 ∣f(xn)−a∣<ε|f(x_{n})-a|<\varepsilon ，即对于这个 {xn}\{x_{n}\}中的所有项都满足∣f(xn)−a∣<ε0|f(x_{n})-a|<\varepsilon_{0}，与假设：存在 ∣x−x0∣<δ(ε0)|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon_{0}) 且 ∣f(x)−a∣≥ε0|f(x)-a|\geq \varepsilon_{0} 的 xx 相矛盾。

通过归结原则，我们可以得到同数列的运算法则：

Theorem 3.1.3 函数极限的运算法则

  1. 函数的线性组合的极限： lim⁡x→x0(c1f(x)+c2g(x))=c1lim⁡x→x0f(x)+c2lim⁡x→x0g(x)\lim_{ x \to x_{0} }(c_{1}f(x)+c_{2}g(x))=c_{1}\lim_{ x \to x_{0} }f(x)+c_{2}\lim_{ x \to x_{0} }g(x)
  2. 函数的积的极限：lim⁡x→x0(f(x)g(x))=lim⁡x→x0f(x)+lim⁡x→x0g(x)\lim_{ x \to x_{0} }(f(x)g(x))=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)+\lim_{ x \to x_{0} }g(x)

柯西收敛准则

Theorem 3.2.1 柯西收敛准则
f(x)f(x) 是在 x0x_{0} 的去心领域内有定义，x→x0x\to x_{0} 时，f(x)f(x) 收敛的充分必要条件是 ∀ε>0,∃δ(ε)>0\forall \varepsilon>0,\exists \delta(\varepsilon)>0，使得只要 0<∣x−x0∣<δ(ε),0<∣y−x0∣<δ(ε)0<|x-x_{0}|<\delta(\varepsilon),0<|y-x_{0}|<\delta(\varepsilon) 就有 ∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon

  ⟹  \implies
如数列一样，由定义直接可得
  ⟸  \impliedby
若假设成立，我们取任意收敛于 x0x_{0} 的数列 {xn}\{x_{n}\}，此时只要 m,n>n0(δ(ε))m,n>n_{0}(\delta(\varepsilon)) 就有 ∣f(xm)−f(xn))∣<ε|f(x_{m})-f(x_{n}))|<\varepsilon ，根据定理 1.2 数列的柯西收敛准则，数列 {f(xn)}\{ f(x_{n}) \} 收敛。

根据定理 4.2.2 归结原则，对于任意收敛于 x0x_{0} 的数列 {xn}\{x_{n}\}，{f(xn)}\{ f(x_{n}) \} 都收敛，所以 x→x0x\to x_{0} 时 f(x)f(x) 收敛。