数学分析 - 连续函数

Definition 连续函数
设 $f(x)$ 是区间 $U^\circ(x_{0})$ 处有定义的函数，若

$\lim_{ x \to x_{0} } f(x)=f(x_{0})$

则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

若在其定义域上每一点都连续，则称 $f(x)$ 为连续函数。
若 $\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)=f(x_{0})$ / $\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)=f(x_{0})$ 则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处 右/左 连续。
若在区间 $I$ 上每一点都连续称 $f(x)$ 在 $I$ 上连续。对于半开半闭与闭区间上定义的函数，只在这些点上考虑左连续/右连续

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Definition 间断点
设 $f(x)$ 是区间 $U^\circ(x_{0})$ 处有定义的函数，若

1. 在 $x_{0}$ 上无定义
2. 在 $x_{0}$ 处有定义，但极限 $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)$ 不存在
3. 有定义且极限存在，但 $\lim_{ x \to x_{0} }f(x)\neq f(x_{0})$ （不连续）

则称 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个间断点

间断点分类：

1. 有限型间断点，左右极限都存在（是有限数）
   1. 可去间断点，左右极限存在且相等，但不连续或无定义

   $\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)=\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)\neq f(x_{0})$

   2. 跳跃间断点，左右极限不相等

   $\lim_{ x \to x_{0}^- }f(x)\neq\lim_{ x \to x_{0}^+ }f(x)$

2. 无限型间断点，所有其他形式的间断点（使函数至少有一侧极限不存在的点）
   1. 无穷间断点，该点的左右极限至少有一个是无穷，该点上可以没有定义。
   2. 振荡间断点，趋近于该点时，函数值在两个常数间震荡。

连续函数的性质

Definition 一致连续
$f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数 $\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta(\varepsilon)>0$ ，使得当 $|x-y|<\delta(\varepsilon),x\in I,y \in I$ 时，就有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 成立，那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续。

在通过极限定义的连续函数的中， $\delta(\varepsilon)$ 依赖于给定的 $x_{0}$，对于不同的 $x_{0}$ 也是不一致的，而一致连续定义中的 $\delta(\varepsilon)$ 对于区间内的任意两点都适用。相比之下一致连续性有更好的性质。通过定理4.2.1 函数的柯西收敛准则可以轻松得出：在 $I$ 上一致连续的函数，也在 $I$ 上连续。但反之未必成立。

Theorem 4.1.1 Cantor 一致连续性定理
如果函数在闭区间上连续，那么他在该区间上一致连续。

设 $f(x)$ 是 $I=[b,c]$ 上的连续函数。

任意给定正实数$\varepsilon$，对于每个 $a\in I$，存在正实数 $\delta_{a}$，使得只要 $|x-a|<\delta_{a}$ 就有 $|f(x)-f(a)|< \frac{\varepsilon}{2}$。
设 $U_{a}$ 为 $a$ 的 $\frac{\delta}{2}$ 邻域 $U_{a}=\left( a-\frac{\delta_{a}}{2},a+\frac{\delta_{a}}{2} \right)$ 为一个开集。

$U_{a}$ 是 $I$ 的一个开覆盖，根据定理 2.4.3 有限覆盖定理，知道 $I$ 是紧致的，所以 $I$ 被有限个 $U_{a}$ （$a \in I$）覆盖，即 $I \subset \cup^m_{k=1} U_{a_{k}}$ 。取这 $m$ 个 $a$ 中，与之对应的$\delta_{a_{k}},k=1,\dots,m$ 中最小的：$\delta=\min(\delta_{a_{1},\dots,\delta_{a_{m}}})$。

因为 $y\in I$ 所以，$y$ 属于某一个 $U_{a_{k}}$ ，所以 $|y-a_{k}| < \frac{1}{2}\delta_{a_{k}}$，因此 $|f(y)-f(a_{k})|< \frac{1}{2}\varepsilon$，此时

$|x-a_{k}|\leq|x-y|+|y-a_{k}|<\delta+\frac{1}{2}\delta_{a_{k}}\leq \delta_{a_{k}}$

可得 $|f(x)-a_{k}|< \frac{1}{2}\varepsilon$。
综上：

$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(a_{k})|+|f(a_{k})-f(y)|<\varepsilon$

所以一致收敛。

Theorem 4.1.2 有界性定理（Weierstrass 第一定理）
在闭区间上定义的连续函数存在上下界

设 $f: [a,b]\to R$ 是连续函数。

利用反证法，假设 $f(x)$ 不存在上下界。显然，给定任意正整数 $n \in \mathbb{N}^+$ ，总存在一点 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)|\geq n$

我们取这样一系列满足条件的 $x$ ，得到一个有界数列 $\{ x_{n} \}$ 。

根据定理 2.4.4 Weierstrass 定理可知，数列 $\{ x_{n} \}$ 存在收敛子列，取这样的一个子列为 $\{x_{n_{k}}\}$，并假设 $\lim_{ k \to \infty } x_{n_{k}}=x_{0}$，显然 $x_{0} \in [a,b]$

根据定理 3.1.2 归结原则，$\lim_{ k \to \infty }f(x_{n_{k}})=\lim_{ x \to x_{0} }f(x)=f(x_{0})$，由于 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，所以 $f(x_{0})<\infty$

又根据假设 $|f(x_{n_{k}})|\geq n_{k}$ 又 $n_{k}>k$ 所以 $\lim_{ k \to \infty }|f(x_{n_{k}})|=\infty$ ，与上文矛盾，证毕。

Theorem 4.1.3 极值定理（Weierstrass 第二定理）
在闭区间上定义的连续函数一定能取到最大值和最小值。

假设 $f:[a,b]\to R$ 是连续函数。
首先考虑最大值，假设 $M$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的上确界。
利用反证法，假设 $f(x)\neq M$，即 $f(x)<M$。

此时我们构造一个函数 $g(x)=\frac{1}{M-f(x)}$ ，根据假设分母不为零，因此 $g(x)$ 也是在 $[a,b]$ 上的连续正值函数。
根据有界性定理，存在一个常数 $w\in\mathbb{R}$ ，使得 $0<g(x)= \frac{1}{M-f(x)}< w$，即在区间 $[a,b]$ 内 $f(x)<M-\frac{1}{w}<M$，这与 $M$ 是 $f(x)$ 的上确界矛盾，证毕。

最小值只需构造 $g^\prime=\frac{1}{f(x)-m}$ 易证。

Theorem 4.1.4 介值定理
$f:[a,b]\to R$ 是连续函数，且 $f(a)\neq f(b)$ ，此时任意在 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的实数 $u$ 都能找到一点 $c$ 使得 $f(c)=u$ 且满足 $a<c<b$

先考虑 $f(a)<f(b)$ 的情况，此时 $f(a)<u<f(b)$ 。

我们取所有使 $f(x)<u$ 满足的 $x$ 为集合 $C$。 至少有一点 $a \in C$，又 $a\leq x\leq b$ 所以 $C$ 是非空有界集合。

由于实数的完备性，集合 $C$ 显然存在上确界 $c = \sup C$，此时我们只需要利用反证法证明 $f(c) < u$ 与 $f(c) > u$ 均不成立即可。

• 假设 $f(c)>u$ ，此时 $f(c)-u>0$ ，由于 $f(x)$ 是连续函数，所以存在 $\delta>0$ 当 $|x-c|<\delta$ 时 $|f(x)-f(c)|<f(c)-u$ ，$f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ 换言之，在区间 $(c-\delta ,c]$ 内的 $x$ 都有 $f(x)>u$ 与假设 $f(c)<u$，与假设 $c$ 是满足 $f(x)<u$ 的所有$x$ 的上界相矛盾。
• 假设 $f(c)<u$。同样，存在 $\delta>0$ 使得 $|x-c|<\delta$ 时 $|f(x)-f(c)|<u-f(c)$ ，此时 $f(x)<f(c)-(f(c)-u)=u$ ，存在 $[c,c+\delta)$ 内的 $x$ 有 $f(x)<u$ 与 $c$ 的定义矛盾。

Theorem 零点定理（根存在定理/ Bolzano 定理）
$f:[a,b]\to R$ 是连续函数，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则存在一点 $x_{0}$ 使得 $f(x_{0})=0$

是介值定理的一种特殊情况。

Theorem 4.1.5
定义在闭区间上的连续函数，值域也是闭区间，常值函数是单一值

综合定理 4.1.4 介值定理与 4.1.3 极值定理可得。

Theorem 4.1.6
定义在区间上的连续函数，值域也是区间，常值函数是单一值

设 $f:I\to R$ 是定义在区间 $I=(a,b)$ 上的连续函数

设 $\{ I_{n} \}$ 是一个闭区间列，令 $I_{n}=\left[ a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n} \right]$，给定 $x \in I$ 都有 $x \in I_{\lceil\frac{1}{\min(x-a,x-b)}\rceil}$ ，且显然任意给定 $n \in \mathbb{N}^+,x \in I_{n}$ ，都有 $x \in I$ 所以，$I = \bigcup^\infty_{i=1}I_{i}$ 。

函数的值域 $f(I)=\bigcup^\infty_{i=1}f(I_{i})$ 是无穷个闭区间的并，所以也是区间。

对于 $I=(a,b],I=[b,a)$ 等情况同样易得。

反函数的连续性

Theorem 4.2.1
定义在区间上的连续单调递增（递减）函数的反函数是定义在区间上的连续单调递增（递减）函数。

设 $f:I\to \Delta$ 是连续单调递增函数，$f^{-1}:\Delta\to I$ 是 $f$ 的反函数，显然也是单调递增的。根据定理 4.1.6 ，$f^{-1}$ 的定义域 $\Delta = f(I)$ 是区间。

假设 $f^{-1}$ 不是连续函数，则存在 $b \in \Delta$ 使得 $\lim_{ y \to b }f^{-1}(y) \neq f^{-1}(b)$ 。换言之，对于某个 $\varepsilon>0$ ，给定任意 $\xi > 0$ ，存在 $y \in \delta$ 使得：

$|y-b|<\xi,|f^{-1}(y)-f^{-1}(b)|\geq \varepsilon$

同时，设 $x=f^{-1}(y)$，$a=f^{-1}(b)$。

首先考虑 $y>b$ 的情况：
因为 $f^{-1}$ 是单调递增函数，所以 $f^{-1}(y)>f^{-1}(b)$，此时，$a=f^{-1}(y)\geq f^{-1}(b)+\varepsilon=a+\varepsilon$。
又因为 $f^{-1}$ 也是单调递增函数，所以 $f(a)\geq f(a+\varepsilon)$ ，且 $f(a+\varepsilon)>f(a)$，所以有 $y=f(x)\geq f(a+\varepsilon)>b$。

根据条件 $|y-b|<\xi$，在 $y>b$ 时，$y<b+\xi$ 与 $y>b$ 矛盾。

** $y>b$ 的情况同样**：
$x<a-\varepsilon$ 所以 $y=f(x)\leq f(a-\varepsilon)<b$ 与 $y>b-\xi$ 矛盾。

证毕